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Forschungsergebnisse

Ermittlung des Wirkungsgradverlaufes eines Bogens durch die Bestimmung seiner Virtualmasse (Faktor M)
nach R. und E. Koltze

Ausgearbeitete Version mit allen Formelableitungen

Die theoretischen Überlegungen der Gebrüder Koltze zur Vergleichbarkeit von Bögen  sind Nebenprodukt bei der experimentellen Entwicklung einer sogenannten Zwillings-Armbrust, deren Geschosse nach eigenen Angaben Geschwindigkeiten von routinemässig 200m/s und im Extremversuch Schallgeschwindigkeit erreichen können (vgl. R.Koltze , Weltneuheit – Die Zwillings-Armbrust in dem Waffenmagazin „caliber“, Ausgabe 6/1995,p.101-102)

Ausgangspunkt der Überlegungen der Gebrüder Koltze ist die bekannte Formel für kinetische Energie E = 1/2m*v² (E = Energie in Joule, m = Masse – in unserem Fall Pfeilgewicht in kg, und v = Geschwindigkeit – in unserem Fall Abschussgeschwindigkeit des Pfeils in m/s)

Die Energie, die ein Pfeil  vom Bogen beim Abschuss mitbekommen hat ( = Ex), ist nur ein Teil der Gesamtenergie ( = Eg), die  das Bogen-Sehne-Pfeil-System beim Aufspannen gespeichert hat.

Wenn wir Ex und Eg ins Verhältnis setzen:  Ex/Eg, können wir in Prozent darstellen, welchen Anteil der Gesamtenergie ein Pfeil mitbekommen hat: z.B. Ex = 41 J und Eg = 52 J, dann ist 41/52 gleich 0,79 also 79 %.

Wir sprechen dann davon, dass ein bestimmter  Bogen für diesen bestimmten Pfeil einen Wirkungsgrad von 79 % hat.

Die kinetische Energie des Pfeiles können wir bestimmen. Wir wissen sein Gewicht und können die Geschwindigkeit messen. Aber was ist mit der Gesamtenergie, die im  gespannten Bogen abgespeichert ist?

An dieser Stelle tritt nun der Begriff der Virtualmasse oder der virtuellen Masse = M auf den Plan. Wenn man phantasiert, der Bogen von 79 % Wirkungsgrad könnte auf wundersame Weise einen Wirkungsgrad von 100 % zeigen, also seine ganze Energie auf den Pfeil abgegeben,  dann könnten wir entweder einen Pfeil gleichen Gewichts auf eine höhere Geschwindigkeit bringen oder einen schwereren Pfeil auf dieselbe Geschwindigkeit.

Ausgegangen von Ex = ½ mx*vx² phantasieren wir das Gewicht des Pfeiles mx um ein Gewicht M erhöht, und zwar genauso, dass  ½ (mx + M)*vx²  der Gesamtenergie Eg entsprechen soll. M ist dann eine virtuelle Größe, die als Masse vorgestellt und in g = Gramm ausgedrückt wird.

Setzen wir Ex und Eg ins Verhältnis

   ½ mx*vx²   

½ (mx + M)*vx²

würde  sich der Ausdruck für den Wirkungsgrad des Bogens auf einen Pfeil mit der bestimmten Masse mx  reduzieren auf die einfache Formel

Ergebnis 1:

Wirkungsgrad eines Bogens für einen Pfeil der Masse mx

   mx   

mx + M


Wie aber können wir die Virtualmasse  M ermitteln?

R. und E. Lotze schlagen folgendes einfaches Verfahren vor:

Voraussetzung ist ein „Geschwindigkeitsmessgerät, das Geschwindigkeiten zwischen 20 m/s  und 200 m/s (bei Bögen wohl eher 100 m/s, Anm. webmaster) auf 0,1 m/s genau messen kann. Dann benötigt man einen möglichst leichten und einen mindestens fünfmal so schweren Pfeil, schießt beide mit vollem und vor allem absolut gleichen Auszug und notiert die beiden Geschwindigkeiten etwa eine Pfeillänge vor dem Gerät. Dann ergibt sich die Virtualmasse aus den beiden Pfeilmassen“ (caliber 6/95, p.102) und entsprechenden Abschussgeschwindigkeiten als
(siehe auch Excel-Rechnerblatt, einfach Daten eingeben)

Ergebnis 2:

Virtualmasse M eines Bogens

ermittelt aus den empirischen Daten von 2 deutlich unterschiedlichen Pfeilgewichten m1, m2 und der jeweiligen Abschussgeschwindigkeit v1, v2 dieser Pfeile bei gleichem Auszug und gleicher Sehnenbeschaffenheit

M = (V1/V2)² * m1-m2

1- (V1/V2)²

(Wie ist R. Lotze auf diese Formel gekommen? Ich nehme an, über die Überlegung, dass wir sowohl über das Einsetzen der Daten von Masse und Geschwindigkeit des ersten Pfeiles, als auch für die Angaben des 2. Pfeiles in die Energieformel zur Ermittlung der Gesamtenergie Eg zu demselben Ergebnis kommen müssen, d.h. es gilt

Eg = ½(m1 + M)* v1²  und  Eg = ½ (m2 + M)*v2²

wenn dies so ist, können wir gleichsetzen

½(m1 + M)* v1²  = ½ (m2 + M)*v2²

Lösen wir die Gleichung  nach M auf,  kommen wir auf die oben angegebene Formel. )


 

Prognose der Pfeilgeschwindigkeit anhand des Pfeilgewichts

Haben wir M ermittelt, können wir auch die Leerabschussgeschwindigkeit V errechnen. Das ist die Geschwindigkeit, mit der sich die Sehne beim Lösen aus dem vollen Auszug ohne Pfeil bewegt. Es ist der Schuss ohne Geschossmasse, also m = 0. Eg stellt sich in diesem Fall dar  als:

Eg = ½ M * V²

Dies ist insofern von Bedeutung, als wir mit ermittelter Virtualmasse M und Leerabschussgeschwindigkeit V nach R. Lotze die Möglichkeit besitzen „die tatsächliche Pfeilgeschwindigkeit v für jedes beliebige Pfeilgewicht m exakt vorauszuberechnen“ (caliber 6/95, p.102).

Setzen wir die empirisch ermittelten Werte von Gewicht m und Geschwindigkeit v des 1. Pfeiles m1,v1 oder des 2. Pfeiles m2,v2  - beides führt zu demselben Ergebnis - ein in die Gesamtenergie Formel Eg, erhalten wir: Eg = ½ (m1 +M) * v1², und gleichgesetzt mit der ebenfalls geltenden obigen Formel Eg = ½ M * V²

½ (m1 +M) * v1² = ½ M * V²

Lösen wir nach V auf erhalten wir:

Ergebnis 3:

Leerabschussgeschwindigkeit V eines Bogens

V = sqr (m1/M +1) * v1

(sqr = Wurzel aus der Klammer) Gehen wir nun davon aus, dass die Werte Virtualmasse M und Leerabschussgeschwindigkeit V für einen bestimmten Bogen - wie oben gezeigt - errechnet und bekannt sind, genügt uns das ebenfalls bekannte beliebige Gewicht eines Pfeils mx, um seine Abschussgeschwindigkeit vx mit diesem Bogen vorauszuberechnen. Wir setzen einfach an:

½ (mx +M) * vx² = ½ M * V²

und lösen nach vx, der einzigen Unbekannten, auf und erhalten:

Ergebnis 4:

Geschwindigkeitsprognose vx für einen Pfeil von bekanntem Gewicht mx

bei Abschuss mit einem Bogen, von dem Virtualmasse M und Leerabschuss-geschwindigkeit V bekannt sind, bei konstantem Auszug und gleichbleibender Sehnenbeschaffenheit

vx = sqr (1/(mx/M + 1) * V


Auf einen Excel-Rechnerblatt können Sie virtuelle und empirische Daten eingeben und erhalten nach den oben abgeleiteten Formeln berechnete Ergebnisse. Wer das Excel-Programm nicht zur Verfügung hat, kann sich die Sache als statische htm-Version ansehen.